Ringi ideaal


(Ümber suunatud leheküljelt Ideaal_(algebra))

Üldalgebras nimetatakse ringi ideaaliks (ehk ideaaliks selles ringis) selle ringi alamhulka, mis sisaldab nullelementi ning on kinnine oma elementide liitmise ja lahutamise suhtes ning on kinnine ringi mis tahes elemendiga (vasakult või paremalt) korrutamise suhtes.

Näiteks on kahe paarisarvu summa ja vahe jälle paarisarvud ning paarisarvu korrutis mis tahes täisarvuga on samuti paarisarv. Seega on paarisarvude hulk täisarvude ringi ideaal.

Nimetus "ideaal" on tuletatud ideaalarvu mõistest. Ideaale võib pidada arvude üldistuseks. Ideaali mõiste pärineb 19. sajandi algebralisest arvuteooriast (Ernst Eduard Kummer). Seda arendasid edasi Richard Dedekind ja Leopold Kronecker.


Sisukord

Definitsioon


Olgu \({\displaystyle I}\) ringi \({\displaystyle \mathbf {R} =(R,+,\cdot )}\) alamhulk. Hulka \({\displaystyle I}\) nimetatakse siis vasakpoolseks ideaaliks, kui:

1: \({\displaystyle 0\in I}\),
2: kõigi \({\displaystyle a,b\in I}\) korral \({\displaystyle a-b\in I}\) (alamrühmakriteerium),
3L: iga \({\displaystyle a\in I}\) ja \({\displaystyle r\in R}\) korral \({\displaystyle r\cdot a\in I}\).

\({\displaystyle I}\) on parempoolne ideaal, kui on täidetud tingimused 1, 2 ja

3R: Iga \({\displaystyle a\in I}\) ja \({\displaystyle r\in R}\) korral \({\displaystyle a\cdot r\in I}\).

Hulka \({\displaystyle I}\) nimetatakse kahepoolseks ideaaliks ehk lihtsalt ideaaliks, kui \({\displaystyle I}\) on vasakpoolne ideaal ja parempoolne ideaal, st on täidetud tingimused 1, 2, 3L ja3R erfüllt.

Märkused

Näited


Ideaalide tekitamine


Kõik vasakpoolsed ideaalid, kõik parempoolsed ideaalid ja kõik kahepoolsed ideaalid moodustavad igaüks sulundisüsteemi. Vastavaid ideaalioperaatoreid tähistatakse sulgude \({\displaystyle (\;),}\) harva ka kolmnurksulgude \({\displaystyle \langle \;\rangle }\) abil.

Kui \({\displaystyle A}\) on ringi \({\displaystyle R}\) alamhulk, siis alamhulga \({\displaystyle A}\) tekitatud ideaaliks

\({\displaystyle (A):=\bigcap _{J\ \ R\mathrm {-i\ ideaal} \atop \ A\subseteq J}J}\)

nimetatakse ringi vähimat (vastavalt vasakpoolset, parempoolset või kahepoolset) ideaali, mis sisaldab hulka \({\displaystyle A}\).

Kui ringil \({\displaystyle R}\) on ühikelement \({\displaystyle 1,}\) siis

\({\displaystyle (A)=\{r_{1}a_{1}s_{1}+\dotsb +r_{n}a_{n}s_{n}\mid r_{i},s_{i}\in R,a_{i}\in A\},}\)

ja kui \({\displaystyle R}\) on ka kommutatiivne, siis

\({\displaystyle (A)=\{r_{1}a_{1}+\dotsb +r_{n}a_{n}\mid r_{i}\in R,a_{i}\in A\}.}\)

Ühe elemendi \({\displaystyle a}\) tekitatud ideaali

\({\displaystyle (a):=\left(\{a\}\right)}\)

nimetatakse peaideaaliks.

Erilised ideaalid


Ideaali \({\displaystyle I}\) nimetatakse pärisideaaliks, kui ta ei ole kogu \({\displaystyle R}\). Ühikelemendiga ringide puhul ühikelemendiga \({\displaystyle 1}\) on see nii parajasti siis, kui ideaal seda ühikelementi ei sisalda.

Pärisideaali \({\displaystyle M}\) nimetatakse maksimaalseks ideaaliks, kui ei ole suuremat pärisideaali, st iga ideaali \({\displaystyle I}\) korral

\({\displaystyle M\subseteq I\subsetneq R\Rightarrow M=I}\)

Zorni lemma abil saab näidata, et ühikelemendiga ringi iga pärisideaal sisaldub mõnes maksimaalses ideaalis. Igal ühikelemendiga ringil peale nullringi leidub maksimaalne ideaal.

Pärisideaali \({\displaystyle P}\) nimetatakse lihtsaks ideaaliks, kui kõikide ideaalide \({\displaystyle I,J}\) korral

\({\displaystyle I\cdot J\subseteq P\Rightarrow I\subseteq P}\) või \({\displaystyle J\subseteq P}\)

Ühikelemendiga ringis on iga maksimaalne ideaal lihtne.

Faktorringid ja tuumad


Ideaalid on ringide homomorfismide tuumad ja võimaldavad defineerida faktorringe.

Ringide homomorfism \({\displaystyle f}\) ringist \({\displaystyle R}\) ringi \({\displaystyle S}\) on kujutus \({\displaystyle f\colon R\to S}\), mille korral kõikide \({\displaystyle a,b\in R}\) korral

\({\displaystyle {\begin{array}{lll}f(0_{R})=0_{S},&f(a+b)=f(a)+f(b),&f(ab)=f(a)f(b)\end{array}}.}\)

Homomorfismi \({\displaystyle f}\) tuum on defineeritud kui

\({\displaystyle \ker(f):=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}.}\)

Tuum on alati ringi \({\displaystyle R}\) kahepoolne ideaal.

Ringi \({\displaystyle R}\) kahepoolne ideaal \({\displaystyle I}\) võimaldab defineerida faktorringi \({\displaystyle R/I}\) (loe: "\({\displaystyle R}\) modulo \({\displaystyle I}\)"; mitte segi ajada faktoriaalringiga), mille elementidel on kuju

\({\displaystyle a+I:=\{a+i\mid i\in I\},}\)

kus \({\displaystyle a}\) on ringi \({\displaystyle R}\) mingi element. Kujutus

\({\displaystyle p\colon R\to R/I,\,a\mapsto a+I}\)

on sürjektiivne ringide homomorfism, mille tuum on parajasti ideaal \({\displaystyle I}\). Seega on ringi \({\displaystyle R}\) ideaalid parajasti sellel ringil määratud homomorfismide tuumad.

Olgu ring \({\displaystyle R}\) kommutatiivne. Kui \({\displaystyle P}\) on lihtne ring, siis \({\displaystyle R/P}\) on integriteetkond. Kui \({\displaystyle M}\) on maksimaalne ideaal, siis \({\displaystyle R/M}\) on korpus.

\({\displaystyle R}\) faktorringide äärmuslikud näited tekivad ideaalide \({\displaystyle (0)}\) ja \({\displaystyle R}\) puhul. Faktorring \({\displaystyle R/(0)}\) on isomorfne ringiga \({\displaystyle R}\) ja \({\displaystyle R/R}\) on triviaalne ring \({\displaystyle \{0\}.}\)

Ideaali norm


Arvukorpuse \({\displaystyle K}\) täiselementide ringis \({\displaystyle A}\) saab defineerida ideaali \({\displaystyle I}\) normi kui \({\displaystyle N(I):=\mathrm {card} (A/I))}\) (ja nullideaali korral \({\displaystyle N((0)):=0}\)). See norm on alati lõplik arv ning on seotud korpuse laiendi normiga \({\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} },}\) peaideaalide \({\displaystyle (a)}\) korral kehtib nimelt \({\displaystyle |N_{K/\mathbb {Q} }(a)|=N((a)).}\) See norm on multiplikatiivne, st \({\displaystyle N(I\cdot J))=N(I)N(J)}\). Üldisemalt vaadeldakse neid norme ka arvukorpuste järkude ideaalide puhul.








Kategooriad: Algebra




Teave seisuga: 06.10.2021 11:04:23 CEST

Allikas: Wikipedia (Autorid [Ajalugu])    Litsents: CC-BY-SA-3.0

Muutused: Kõik pildid ja enamik nendega seotud kujunduselemente eemaldati. Mõned ikoonid asendati FontAwesome-ikoonidega. Mõned mallid eemaldati (nt “artikkel vajab laiendamist”) või määrati (nagu “mündid”). CSS klassid kas eemaldati või ühtlustati.
Vikipeedia spetsiifilised lingid, mis ei vii artiklini või kategooriani (nt „Lingid lingid”, „lingid redigeerimislehele”, „lingid portaalidesse”) eemaldati. Igal välisel lingil on täiendav FontAwesome-ikoon. Mõne väikese konstruktsioonimuudatuse kõrval eemaldati meediumikonteiner, kaardid, navigeerimisboksid, suulised versioonid ja geomikroformaadid.

Pane tähele: Kuna antud sisu võetakse antud ajahetkel automaatselt Vikipeediast, oli käsitsi kinnitamine ja pole võimalik. Seetõttu ei taga LinkFang.org omandatud sisu täpsust ja tõepärasust. Kui on teavet, mis on praegu ekslik või millel on ebatäpne kuva, siis palun võtke julgelt ühendust võta meiega ühendust: e-post.
Vaata ka: Ilmumisandmed & Privaatsuspoliitika.